补充资料：二次微分

二次微分
quadratic differential

　　点)，而解的几何性质以适当的方式同二次微分的轨道结构相联系.关于单叶函数(妞mv汉沁ni func石on)系数的一些不等式已通过二次微分得到证明.关于分布在有限Ri ernann曲面上区域族中的单叶函数系数的一个更一般的不等式称为一般系数定理(罗朋ral coe阮i-ent此。~)，它是Teichln曲er原理对于广泛一类间题的具体实现(见【l]，〔4』).应用Teichi劝止er原理还能建立一条特殊的系数定理并解决大量具体的极值问题(见11]，【5」).==次微分〔明ad’a ticd廿rer以皿:K.a江paT，，““益八11中-中epe皿”班a月1，Ri。刀a加曲面R上的 使每个把一个参数邻域UCR映射到扩充复平面亡中的局部参数:(::u~亡)(见局部单值化参数(local unjform边ng Pa份nrter))对应到一个函数Q:::(u)~〔的满足下述条件的一个规则:对任何局部参数z，:u，~〔和22:vZ~亡(U，自UZ非空)，在交U，自UZ内下式成立: Q:，(:2(尹))[d:、(p)1，_，:。二了_ 妥三拼书共冷=l气创书资}，p‘U、f)UZ; Q二，(z，(夕))L dzZ(p)」’f (五)此处:(U)是U在映射:下在亡中的象.二次微分通常记为Q(:)dz’，这是基于如(l)所指明的它关于局部参数z的选取的不变性.换言之，二次微分是瓦en抽Lnn曲面上的(2，O)型非线性微分. 通常假定二次微分定义中的函数Q:(·)是可测的或甚至是解析的;在后面情形此二次微分称为解析的(朗哄师c)·点P‘R称为Q(:)d:’的k阶零点(或极点)，如果对每个局部参数z，函数Q:(·)在p处有k阶零点(或极点).二次微分的零点和极点合称为它的临界点(critical point).零点和单极点合称为有限临界点，其全体记为C.所有阶k)2的极点组成的集合记为H.如果曲线下CR在其每一点q处关于参数:具有切线，其切向量为a:(q)，且有 Q:(z(g))(a:(g))’>o，，任下，(2)则称Q(:)d:2在曲线下上是正的(positive)，记作Q(z)d:’>0.如果当>号代以<号时(2)式成立，则称Q(:)d:‘在下上是负的帅e罗石ve)，记作Q(:)d:2<0.R上每条具有性质Q(z)dzZ>0(或Q(:)dz’<0)的极大正则曲线称为二次微分Q(:)山2的轨道(trajecto刁)(或正交轨道(。川的即耐trajec-tory))， 定义于有限Rien班nn曲面R上的二次微分Q(:)d:2属于R，如果R的边界口R或为空，或由有限个点p嗜H以及有限条在其上Q(:)d:2为正则且正或负的弧下所组成.此外，如果口R为空或Q(习d:’在刁R上为正则月正的，则Q(习d:2称为几e-n笼uln曲面R上的正二次微分(p粥itive qUa如石cdif-ferential).度量}Q(:)1’勺d:}称为Q度量(Q-n谧tric)，它在R上是单值的且关于局部参数z的选取是不变的. 在任一点p6R\(C日H)的某个邻域U内，函数 z(q) ;(。)一J。(:)】‘2、: ;(p)对被积函数符号的每种选取都是正则的、单值的和单叶的;此外，U的一个轨道(或正交轨道)的每个极大弧在心(q)下映为水平(或垂直)线段.因此，每个点P〔R\(CUH)都有一或为R上的开弧或为R上的Jor山川曲线的轨道所通过‘每个临界点r的一个小邻域内轨道族的拓扑和共形结构可依赖于临界点r的阶并(当r是2阶极点且或;)=O时)依赖于 arg飘Q:(z(、))z(。)’完全地进行分类(见轨道的局部结构(focal structureof七司‘tories)).对于有限Rien吸n力曲面，已经知道轨道的整体结构(咖bai str吸奴止c of trajectories)的一种描述并有许多重要应用(亦见〔11). 0.TeichinUller研究了二次微分在极值共形和拟共形映射理论以及解Rlen州Lnn曲面模问题中的作用(见【l]一f31).他表述了一个原理，据此可使某些二次微分同几何函数论中的一些极值问题相联结，每种类型的极值问题对应二次微分的一些特殊奇点(极
　　

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